Question

如图，□ABCD的边长为2，对角线AC、BD交于点O，E为DC上一点，∠DAE=30°，过D作DF⊥AE于F点，连接OF．则线段OF的长度为

 

．

Answer 1

考点：四点共圆,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：作OG⊥DF于G，连接OG．易证A、O、F、D四点共圆，从而有∠OFG=∠DAO=45°，则有OG=FG．设GF=GO=x，则有DG=1+x，OF=

2

x．然后先求出OD，再在Rt△OGD中运用勾股定理求出x，就可得到OF的长．

解答：解：作OG⊥DF于G，连接OG，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=45°，∠AOD=90°．
∵DF⊥AE，即∠AFD=90°，
∴∠AOD=∠AFD．
∴A、O、F、D四点共圆．
∴∠OFG=∠DAO=45°．
∵OG⊥DF，即∠OGF=90°，
∴∠FOG=45°=∠OFG．
∴OG=FG．
∵∠AFD=90°，∠DAE=30°，AD=2，∴DF=1．
设GF=GO=x，
则有DG=DF+FG=1+x，OF=

GF2+OG2

=

2

x．
在Rt△AOD中，OD=AD•sin∠DAO=2×

2

2

=

2

．
在Rt△OGD中，
∵∠OGD=90°，∴OG²+DG²=OD²．
∴x²+（1+x）²=（

2

）²．
解得：x₁=-

1

2

+

3

2

，x₂=-

1

2

-

3

2

（舍去）．
所以OF=

2

x=

6

2

-

2

2

．
故答案为：

6

2

-

2

2

．

点评：本题考查了四点共圆、圆内接四边形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、勾股定理、解一元二次方程、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，有一定的综合性，通过证明A、O、F、D四点共圆得到∠OFG=∠DAO=45°是解决本题的关键．