Question

【题目】如图，D是⊙O直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线．

（2）若E是劣弧上一点，AE与BC相交于点F，△BEF的面积为9，且cos∠BFA=，求△ACF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）16

【解析】试题分析：（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判断是直角三角形，则 是的切线；
（2）同弧所对的圆周角相等，可证明，得出相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．

试题解析：(1)证明：连接BO，

方法一：∵AB=AD,

∴∠D=∠ABD,

∵AB=AO.

∴∠ABO=∠AOB.

又在△OBD中,

即BD⊥BO.

∴BD是的切线；

方法二：∵AB=AO，BO=AO.

∴AB=AO=BO.

∴△ABO为等边三角形

又

即BD⊥BO,

∴BD是的切线；

方法三：∵AB=AD=AO,

∴点O、B.D在以OD为直径的A上,

即BD⊥BO,

∴BD是的切线；

(2)∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF,

∴△ACF∽△BEF,

∵AC是的直径.

在Rt△BFA中,

又