Question

【题目】如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与点的距离为8；③；④；其中正确的结论是（ ）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

连接OO′，如图，先利用旋转的性质得BO′=BO=8，∠OBO′=60°，再利用△ABC为等边三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，则根据旋转的定义可判断△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；接着证明△BOO′为等边三角形得到∠BOO′=60°，OO′=OB=8；根据旋转的性质得到AO′=OC=10，利用勾股定理的逆定理证明△AOO′为直角三角形，∠AOO′=90°，于是得到∠AOB=150°；最后利用S四边形AOBO′=S△AOO′+S△BOO′可计算出S四边形AOBO′即可判断．

连接OO′，如图，

∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴BO′=BO=8，∠OBO′=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，则①正确；
∵△BOO′为等边三角形，
∴OO′=OB=8，所以②正确；
∵△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
∴AO′=OC=10，
在△AOO′中，

∵OA=6，OO′=8，AO′=10，
∴OA2+OO′2=AO′2，
∴△AOO′为直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，所以③正确；

，

故④错误，

故选：A.