【题目】如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A,且MN∥BC,点D是直线MN上一点,不与点A重合.若点E是线段AB上一点,且DE=DA.
(1)请说明线段DE⊥DA.
(2)如图2,连接BD,过点D作DP⊥DB交线段AC于点P,请判断线段DB与DP的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)DB=DP,理由见解析.
【解析】
(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°,根据平行线的性质、垂直的定义证明;
(3)利用ASA定理证明△BDF≌△PDA,根据全等三角形的性质证明即可;
解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°.
∵MN∥BC,
∴∠DAE=∠B=45°.
∵DA=DE,
∴∠DEA=∠DAE=45°,
∴∠ADE=180°-∠DEA-∠DAE=90°,
∴DE⊥DA.
(2)DB=DP.
理由如下:∵DP⊥DB,
∴∠BDE+∠EDP=90°.
由(1)知DE⊥DA,
∴∠ADP+∠EDP=90°,
∴∠BDE=∠ADP.
∵∠DEA=∠DAE=45°,
∴∠BED=180°-45°=135°,∠DAP=∠DAE+∠BAC=135°,
∴∠BED=∠DAP.
在△DEB和△DAP中,
,
∴△DEB≌△DAP(ASA),
∴DB=DP.
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【题目】(7分)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时,组织开展测量物体高度的实践活动.要测量学校一幢教学楼AB的高度如图所示,他们先在点C测得教学楼的顶部A的仰角为36.2°,然后向教学楼前进10米到达点D,又测得点A的仰角为45°.请你根据这些数据,求出这幢教学楼AB的高度.(结果精确到1米)
【参考数据:sin36.2°=0.59,cos36.2°=0.81,tan36.2°=0.73】
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【题目】有A、B两个黑布袋,A布袋中有四个除标号外完全相同的小球,小球上分别标有数字0,1,2,3,B布袋中有三个除标号外完全相同的小球,小球上分别标有数字0,1,2.小明先从A布袋中随机取出一个小球,用m表示取出的球上标有的数字,再从B布袋中随机取出一个小球,用n表示取出的球上标有的数字.
(1)用(m,n)表示小明取球时m与n的对应值,画出树状图(或列表),写出(m,n)的所有取值;
(2)求关于x的一元二次方程没有实数根的概率.
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【题目】如图,D是⊙O直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若E是劣弧上一点,AE与BC相交于点F,△BEF的面积为9,且cos∠BFA=
,求△ACF的面积.
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【题目】小南一家到某度假村度假.小南和妈妈坐公交车先出发,爸爸自驾车沿着相同的道路后出发.爸爸到达度假村后,发现忘了东西在家里,于是立即返回家里取,取到东西后又马上驾车前往度假村(取东西的时间忽略不计).如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图.请根据图回答下列问题:
(1)图中的自变量是_________,因变量是_________,小南家到该度假村的距离是_____km.
(2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发,爸爸驾车的平均速度为___________km/h,图中点A表示 .
(3)小南从家到度假村的路途中,当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km.
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【题目】在RtABC中,∠C=90°,AC=BC= (如图),若将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,联结C′B,则C′B的长为_____.
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【题目】如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c>0.其中正确的命题是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③④
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在AB、AC上,且CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF,连接EF.
(1)求证:△BDC≌△EFC;
(2)若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.
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【题目】如图,函数y=x的图象与函数y=(x>0)的图象相交于点P(2,m).
(1)求m,k的值;
(2)直线y=4与函数y=x的图象相交于点A,与函数y=(x>0)的图象相交于点B,求线段AB长.
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