Question

3．设p是大于2的质数，求方程$\frac{2}{p}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的正整数解．

Answer 1

分析 令p=2k+1，将$\frac{2}{p}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$变形为$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{2k+1}$-$\frac{1}{y}$，当y=k+1时，可得x=（2k+1）（k+1），依此即可求解．

解答 解：p为奇质数，则有p=2k+1，其中k为正整数，
$\frac{2}{2k+1}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$，
则有$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{2k+1}$-$\frac{1}{y}$，
当y=k+1时，必然有$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{2k+1}$-$\frac{1}{k+1}$，
x=（2k+1）（k+1），
显然方程有无穷多组解．

点评 此题主要考查了质数与合数，非一次不定方程（组）的解法，整理为整式方程后再进行分析解决．