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【题目】如图,在中, .点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动,同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点运动的时间是t秒(t>0).过点于点,连接

(1)求证:

(2)四边形能够成为菱形吗?如果能,求出相应的值;

如果不能,说明理由.

(3)当为何值时, 为直角三角形?直接写出t值.

【答案】(1)见解析(2)(3)t=秒或4秒

【解析】试题分析:(1)由∠DFC=90°,∠C=30°,证出DF=t=AE;
(2)先证明四边形AEFD为平行四边形.得出AB=5,再求出AC=2AB=10,AD=AC-DC=10-2t,若△DEF为等边三角形,则AEFD为菱形,得出AE=AD,t=10-2t,求出t的值;

(3)分三种情况讨论:①∠EDF=90°时;②∠DEF=90°时;③∠EFD=90°时,此种情况不存在;分别求出t的值即可.

试题解析:

(1)证明:据题意:

又∵

∴AE=DF

(2)解:四边形能够成为菱形

理由如下:

∵AB⊥BC,DF⊥BC,

∴AE∥DF

又AE=DF,

∴四边形为平行四边形

当AE=AD时,平行四边形是菱形

在Rt△中,

,则

解得:

又∵

帽AE=AD得:

解得:

时,平行四边形是菱形

(3)解:①∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形

在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,

∴AD=2AE

即10﹣2t=2t,t=

②∠DEF=90°时,由(2)四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD,

∴∠ADE=∠DEF=90°

∵∠A=90°﹣∠C=60°,

∴AD=AE

即10﹣2t=t,t=4

③∠EFD=90°时,此种情况不存在

综上所述,当t= 秒或4秒时,△DEF为直角三角形.

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