【题目】如图,点E为矩形ABCD中AD边中点,将矩形ABCD沿CE折叠,使点D落在矩形内部的点F处,延长CF交AB于点G,连接AF.
(1)求证:AF∥CE;
(2)探究线段AF,EF,EC之间的数量关系,并说明理由;
(3)若BC=6,BG=8,求AF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2),证明见解析;(3)
【解析】(1)由对称的性质可得出相等的边与角,通过等腰三角形的性质及等量代换可得出∠EAF=∠DEC,即可证明AF∥CE;(2)连接DF,证△AFD、△EDC相似,根据相似的性质可推出线段AF,EF,EC之间的数量关系;(3)根据(2)中的数量关系: ,先求出EC、EF的长,进而可求出AF的长.
(1)证明:由折叠矩形ABCD可得,EF=ED,CF=CD
∠DEC=∠FEC,∠EFG=∠EFC=∠EDC=90°
∵点E为AD的中点
∴AE=ED=EF
∴∠EAF=∠EFA
∵∠DEF=∠EAF+∠EFA=∠DEC+∠FEC
∴∠EAF=∠DEC
∴AF∥EC
(2)线段AF,EF,EC之间的数量关系为: ,理由如下:
连接DF交EC于P
∵EF=ED, CF=CD
∴E,C两点都在线段DF的中垂线上,即EC⊥DF
∴∠DPE=90°
∵AF∥EC
∴∠AFD=∠DPE=∠EDC=90°
∵∠EAF=∠DEC,∠AFD=∠EDC
∴△AFD∽△EDC
∴,即
∴
(3)∵∠GAF+∠EAF=∠GFA+∠EFA=90°,∠EAF=∠EFA
∴∠GAF=∠GFA,∴AG=FG
在Rt△BGC中,∵BC=6,BG=8
∴
∵AB=CD=CF,∴8+AG=10-FG,∴AG=FG=1,∴CF=CD=9
∵AD=BC=6,∴
∴在Rt△DEC中,
∵,∴,∴
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】本学期开学初,李老师为了了解所教班级学生假期自学任务完成情况,对部分学生进行了抽查,抽查结果分成四类,A:特别好;B:好;C:一般;D:较差;并将抽査结果绘制成以下两幅不完整的统计图(如图所示),请你根据统计图解答下列问题:
(1)李老师一共抽查了 名同学,其中女生有 名;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)李老师想从被抽查的A类和D类学生中分别选取一位进行“一帮一”互助,所选的两位同学恰好是一男一女的概率是 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲乙两人同时登西山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图像如图所示,根据图像所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山的速度是每分钟米,乙在A地提速时距地面的高度b为米.
(2)若乙提速后,乙的速度是甲登山速度的3倍,请分别求出甲、乙二人登山全过程中,登山时距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式.
(3)登山多长时间时,乙追上了甲此时乙距A地的高度为多少米?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】完成下面的推理过程,并在括号内填上依据.
如图,E为DF上的一点,B为AC上的一点,∠1=∠2,∠C=∠D,求证:AC∥DF
证明:∵∠1=∠2()
∠1=∠3( 对角线相等)
∴∠2=∠3()
∴∥()
∴∠C=∠ABD()
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠D=∠ABD()
∴AC∥DF()
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