Question

18．已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程a（1+x²）=2bx-c（1-x²）的两根相等，判断此三角形的形状．

Answer 1

分析 方程a（1+x²）-2bx+c（1-x²）=0的两根相等，即△=0，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．

解答 解：原方程整理得（a+c）x²-2bx+a-c=0，
因为两根相等，
所以△=b²-4ac=（-2b）²-4×（a+c）×（a-c）=4b²+4c²-4a²=0，
即b²+c²=a²，
所以△ABC是直角三角形．

点评 此题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．△ABC的三边长满足b²+c²=a²，由勾股定理的逆定理可知，此三角形是直角三角形．