Question

已知：抛物线C：y=-x²-（m-4）x+3（m-1）与x轴交于A、B两点．若m≤-1且直线l₁：y=-

m

2

x-1经过点A，
（1）求抛物线C的函数解析式；
（2）直线l₁：y=-

m

2

x-1绕着点A旋转得到直线l₂：y=kx+b，设直线l₂与y轴交于点D，与抛物线C交于点M（M不与点A重合），当

MA

AD

≤

3

2

时，求b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-因式分解法,相似三角形的判定与性质

专题：分类讨论

分析：（1）运用因式分解法可求得抛物线与x轴交点为（1-m，0）、（3，0），然后分两种情况（①点A为（1-m，0），②点A为（3，0））进行讨论，求出符合要求的m的值，就可得到抛物线C的函数解析式；
（2）由（1）可知：点A为（2，0），OA=2．过点M作MH⊥x轴于点H，易证△MHA∽△DOA，根据相似三角形的性质可求得AH=3．然后只需求出两个临界位置（①

MA

DA

=

3

2

且点H在点A的左边，②

MA

DA

=

3

2

且点H在点A的右边）下b的值，就可解决问题．

解答：解：（1）令y=0，得-x²-（m-4）x+3（m-1）=0，
即x²+（m-4）x-3（m-1）=0，
则（x+m-1）（x-3）=0，
∴x₁=1-m，x₂=3．
①若点A为（1-m，0），
由直线y=-

m

2

x-1经过点A得：-

m

2

（1-m）-1=0，
解得：m₁=2，m₂=-1．
∵m≤-1，∴m=-1．
②若点A为（3，0），
由直线y=-

m

2

x-1经过点A得：-

m

2

×3-1=0，
解得：m=-

2

3

∵m≤-1，∴m≠-

2

3

．
综上所述：m=-1，
∴抛物线C的函数解析式为y=-x²+5x-6．

（2）由（1）可知：点A为（2，0），OA=2．
过点M作MH⊥x轴于点H，则有MH∥OD，
∴△MHA∽△DOA，
∴

MA

DA

=

AH

AO

．
①当

MA

DA

=

3

2

且点H在点A的左边时，
则有AH=3．
则有OH=AH-OA=3-2=1，
∴x_M=-1，
∴y_M=-（-1）²+5×（-1）-6=-12．
此时直线y=kx+b经过点A（2，0）、M（-1，-12），
∴

2k+b=0 -k+b=-12

，
解得：

k=4 b=-8

，
②当

MA

DA

=

3

2

且点H在点A的右边时，
则有AH=3．
则有OH=OA+AH=2+3=5，
∴x_M=5，
∴y_M=-5²+5×5-6=-6．
此时直线y=kx+b经过点A（2，0）、M（5，-6），
∴

2k+b=0 5k+b=-6

，
∴

k=-2 b=4

．
综上所述：当

MA

AD

≤

3

2

时，b的取值范围为-8≤b≤4．

点评：本题考查了运用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、抛物线上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、运用因式分解法解一元二次方程等知识，运用因式分解法求出抛物线与x轴的交点是解决第（1）小题的关键，考虑临界位置是解决第（2）小题的关键．