Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始，沿AB向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发：
（1）几秒后四边形APQC的面积是31平方厘米？
（2）若用S表示四边形APQC的面积，在经过多长时间S取得最小值？并求出最小值．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,二次函数的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）设经过x秒钟，可使得四边形APQC的面积是31平方厘米，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果；根据面积为31列出方程，判断即可得到结果．
（2）根据题意列出S关于x的函数关系式，利用函数的性质来求最值．

解答：解：（1）设经过x秒钟，可使得四边形APQC的面积是31平方厘米，
根据题意得：

1

2

BP•BQ=

1

2

AB•BC-31，即

1

2

（6-x）•2x=

1

2

×6×12-31，
整理得 （x-1）（x-5）=0
解得：x₁=1，x₂=5．
答：经过1或5秒钟，可使得四边形APQC的面积是31平方厘米；

（2）依题意得，S_{四边形APQC}=S_△ABC-S_△BPQ，即S=

1

2

AB•BC-

1

2

BP•BQ=

1

2

×6×12-

1

2

（6-x）•2x=（x-3）²+27（0＜x＜6），
当x-3=0，即x=3时，S_最小=27．
答：经过3分钟时，S取得最小值27平方厘米．

点评：此题考查了一元二次方程的应用、二次函数的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．