Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点P从A出发以1厘米/秒的速度沿AD移动，点Q同时从C出发以2厘米/秒的速度沿CB移动，若AD=18厘米，BC=24厘米．求：
（1）运动多长时间，四边形ABQP是矩形；
（2）运动多长时间，四边形DCQP是等腰梯形；
（3）运动多长时间，四边形DCQP的面积最大？

Answer 1

考点：梯形,矩形的判定,等腰梯形的判定

专题：动点型

分析：（1）若四边形ABQP为矩形，则AP=BQ，用t将AP和BQ分别表示出来，列方程求解即可．
（2）若四边形PQCD为等腰梯形，则只能PQ=CD，且PD≠QC，通过添加辅助线构造两个直角三角形全等，通过边的对应关系求解．
（2）根据梯形的面积公式列出S关于t的函数关系式，根据t的取值范围来求四边形DCQP的面积的最大值．

解答：解：（1）若四边形ABQP为矩形，则AP=BQ．
根据题意得：AP=t，BQ=BC-CQ=24-2t，
∴t=24-2t，
解得 t=8．
∴当t=8时，四边形ABQP为矩形；

（2）如图所示，若四边形PQCD为等腰梯形，则PQ=DC，分别过点P，D作PE⊥BC于E，DF⊥BC于点F，则PE=DF．
∴Rt△PQE≌Rt△DCF，
∴QE=CF，
又∵QE=BE-BQ=AP-BQ=t-（24-2t）=3t-24，CF=BC-AD=6，
∴3t-24=6，
∴t=10，
∴当t=10秒时，四边形PQCD为等腰梯形；

（3）∵四边形DCQP的面积S=

1

2

×（DP+QC）×AB
∴S=

1

2

×（18-t+2t）×AB=

1

2

×（18+t）×AB
∵AB是不变的，0＜t≤

24

2

=12
∴t=12时，四边形DCQP的面积最大．

点评：主要考查了梯形的判定，矩形的性质以及等腰梯形的判定．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，并求得线段之间的关系．