Question

已知，等边△ABC的顶点B、C在x轴上，点A在第一象限，且B（-3，0），C（5，0），

（1）求直线OA的解析式；
（2）动点P从点C出发，以8个单位每秒的速度向A运动，同时点Q从点A出发，以7个单位每秒的速度向O运动，过点P作PG∥BC交线段OA于点G，设点P的运动时间为t秒，线段GQ长为y，求出y与t之间的函数关系并直接写出自变量的取值范围；
（3）连接PQ并延长交BC于点D，连接CG并延长交AB于点E，当线段满足DQ：QP=3：5时，求线段AE的长．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的性质可求点A的坐标，再根据待定系数法可求直线OA的解析式；
（2）根据勾股定理可求OA=7，过G作GK∥AC交x轴于K，分两种情况：①如图1，G在Q下方：②如图2，G在Q上方：进行讨论可求y与t之间的函数关系；
（3）表示出PC=8t，AP=8-8t，PG=5-5t，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可求解．

解答：解：（1）∵B（-3，0），C（5，0），
∴BC=8，
∵三角形△ABC是等边三角形，点A在第一象限，
∴点A的坐标（1，4

3

），
设直线OA的解析式为y=kx，则k=4

3

，
故直线OA的解析式为y=4

3

x；

（2）根据（1）勾股定理可求OA=7，
过G作GK∥AC交x轴于K，AQ=7t，
∵CP=8t，可求OG=7t，
①如图1，G在Q下方：
GQ=AO-AQ-OG，
则y与t之间的函数关系为y=7-7t-7t=7-14t（0＜t＜0.5）
②如图2，G在Q上方：
GQ=AQ+OG-AO，
则y与t之间的函数关系为y=7t+7t-7=14t-7（0.5＜t＜1）

（3）如图3，则PC=8t，AP=8-8t，PG=5-5t，
∵5DQ-3QP=0，
∴DQ：QP=3：5，
∵△DOQ∽△PGQ，
∴DQ：QP=OQ：QG=3：5，
∵AG=QO，
∴OQ：QA=3：8，
AO=AG+GQ+QO=7，
∴AG=QO=

21

11

，
∴GP=

15

11

，
△CPG∽△CAF，则AF=

15

8

，
△AEF∽△BEC，则AE=

120

79

．

点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：等腰三角形的性质，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，相似三角形的性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．