Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；
（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中-3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,等腰三角形的性质,勾股定理的应用

专题：压轴题

分析：（1）根据直线y=x+3求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式，最后转化成顶点式即可；
（2）根据P的坐标求得D、E的坐标，然后根据E的坐标求得F的坐标，依次求得DE、EF的长，即可求得矩形的周长L与m的解析式，然后转化成顶点式即可；
（3）先根据A、B的坐标求得AB的长，然后依据题意应用勾股定理即可求得Q的纵坐标，进而求得Q的坐标；

解答：解：（1）由经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．可知A（-3，0），B（0，3），
∵抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，
∴

0=-9-3b+c 3=c

，
解得：b=-2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∵顶点C（-1，4）；

（2）如图②，∵直线DP⊥x轴，点P（m，0），
∴D（m，m+3），E（m，-m²-2m+3），F（-m²-2m，-m²-2m+3），
∴DE=（-m²-2m+3）-（m+3）=-m²-3m，EF=-m²-2m-m=-m²-3m，
∴L=2DE+2EF=2（-m²-3m）+2（-m²-3m）=-4m²-12m，
即L=-4m²-12m；
∵L=-4m²-12m=-4（m+

3

2

）²+9，
∴当m=-

3

2

时，L有最大值；

（3）存在；
理由：如图②，∵A（-3，0），B（0，3），
∴AB=

OA2+OB2

=

32+32

=3

2

，
∵Q在直线x=-1上，
∴设Q（-1，n），
∵点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形，
①当AQ=AB=3

2

，
∴2²+n²=(3

2

)2，
∴n=

14

，或n=-

14

，
②当BQ=AB=3

2

，
∴1²+（3-n）²=(3

2

)2
∴n=3+

17

，或n=3-

17

，
③当AQ=BQ时，作AB的垂直平分线与对称轴交点为Q，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线经过原点，
∴AB的垂直平分线为y=-x，
∴Q（-1，1）；
综上，Q点的坐标为（-1，

14

）；（-1，-

14

）；（-1，3+

17

）或（-1，3-

17

）或（-1，1）．

点评：本题考查了直线与x轴的交点坐标，待定系数法求解析式以及解析式的顶点式，勾股定理的应用，函数的最值问题以及等腰三角形的性质等，根据点的坐标依据函数的解析式求得相应点的坐标是本题的关键；