Question

【题目】如图，把Rt△ACO以O点为中心，逆时针旋转90 ，得Rt△BDO，点B坐标为（0，-3），点C坐标为（0， ），，抛物线y=-x2+bx+c经过点A和点C
（1）求b，c的值；
（2）在x轴以上的抛物线对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
（3）点P从点O出发沿ｘ轴向负半轴运动，每秒1个单位，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，当ｔ为几秒时，以M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，有2个Q点，坐标分别为：（—1， ）；（—1， ）（3）当t=2或+1秒时，以M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形.

【解析】试题分析：（1）先由旋转得出点A的坐标为（—3，0），直接利用待定系数法求出抛物线解析式得出即可；

（2）利用当AQ=AC=，以及当AC=Q1C时，分别得出符合题意的答案即可；

（3）利用平行四边形的性质首先得出BC的长，进而表示出线段ME的长，进而求出答案.

(1) 由旋转知：OA=OB=3

∴A（—3，0）

由 ，∴ ……4分

（2）由（1）得y=-x2+bx+c=-x2x+=-x+1)2，即抛物线的对称轴为直线x=-1，

如图

①当AC=AQ时，直线x=-1和x轴交于E点，AO=3，CO=，∴AC=，AE=2，∴QE=,故Q的坐标为：（-1， ）；

②当AC=Q1C时，过点C作CF⊥直线x=-1，于一点F，则FC=1，

∵AO=3，CO=，∴AC=，∴Q1C=，∴FQ1=，故Q1的坐标为：（-1， ）；

所以存在2个Q点，坐标分别为：（—1， ）；（—1， ）.

（3）∵OC=，当 M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形时，PM=

∴M点的纵坐标为或-.

由

解之，x=-2或0

由

解之，x=-1+或-1-

结合条件及图形分析得：OP=2或+1

∴当t=2或+1秒时，以M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形。