Question

17．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k（k+1）=0．
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根；
（2）k取何值时，方程有一个正根和一个负根．

Answer 1

分析 （1）求出△的值，再根据根的判别式判断即可；
（2）根据已知得出$\frac{c}{a}$＜0，代入求出即可．

解答 （1）证明：∵△=[-（2k+1）]²-4（k²+1）=1＞0，
∴方程必有两个不相等的实数根；

（2）解：设方程的两个根为e、f，
则ef=k（k+1），
当k（k+1）＜0时，方程有一个正根和一个负根，
即-1＜k＜0时，方程有一个正根和一个负根．

点评 本题考查了根的判别式和根与系数关系的应用，能理解知识点是解此题的关键，注意：要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．