【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G，且MB=MG．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）AD = DG＋DM；（3）AD = DG－DN.
【解析】
（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DW=DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD=WG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H=∠2，进而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．
(1)证明：如图1所示：
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°，
∴∠ABC=60°,BC=
AB.
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°.
∴DA=DB.
∵DE⊥AB于点E.
∴AE=BE=AB.
∴BC=BE.
∴△EBC是等边三角形；
(2)结论：AD=DG+DM.
证明：
如图2所示：延长ED使得DW=DM，连接MW，
∵∠ACB=90°,∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW=DM，
在△WGM和△DBM中，
∵
∴△WGM≌△DBM，
∴BD=WG=DG+DM，
∴AD=DG+DM.
(3)结论：AD=DGDN.
证明：延长BD至H，使得DH=DN.
由(1)得DA=DB,∠A=30°.
∵DE⊥AB于点E.
∴∠2=∠3=60°.
∴∠4=∠5=60°.
∴△NDH是等边三角形.
∴NH=ND,∠H=∠6=60°.
∴∠H=∠2.
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.
即∠DNG=∠HNB.
在△DNG和△HNB中,
∴△DNG≌△HNB(ASA).
∴DG=HB.
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD.
∴AD=DGND.
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【题目】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．
(1)点D在边AB上时，证明：AB=FA+BD；
(2)点D在AB的延长线或反向延长线上时，(1)中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论．
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【题目】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
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【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C=90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB=60°，AB=6，求
的长．
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【题目】将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形（不能有重叠和缝隙）．小华的做法是：如图1所示，在矩形ABCD中，分别取AD、AB、CD的中点P、E、F，并沿直线PE 、PF剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如图2)．
（1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；
（2）以矩形ABCD的顶点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMN，点P在边AD上（不与点A、D重合），点M、N在x轴上（点M在N的左边）．如果点D的坐标为(5，8)，直线PM的解析式为y=kx+b，求所有满足条件的k的值.
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【题目】如图，延长平行四边形
的边
到
，使
，连结
交
于点
．
试说明：
；
连结
，
相交于
，连结
，问与
有怎样的数量关系与位置关系，说明理由；
若
，连接
，四边形
是什么特殊四边形，说明理由；
在的条件下，当
满足________条件时，四边形是正方形．
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【题目】(1)如图1，将两个全等的三角板如图摆放，其中△ABC和ΔADE的直角顶点重合在点A处，∠ADE=∠ABC=60°，且点D在AC上，点B在AE上，∠C=∠E=30°，AB=AD，AC=AE，BC=DE，BC和DE相交于点F.求证:CF=EF.
(2)如图2，将这两个三角板如图摆放，直角顶点A仍然重合，BC与DE相交于点F，AC与DE交于点M，AE和BC交于点N.猜想CF和EF还相等吗?说明理由.
(3)如图3，在(2)的基础上，若∠DAM=30°.求证:线段DF和AC互相垂直平分.
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