Question

【题目】将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形（不能有重叠和缝隙）．小华的做法是：如图1所示，在矩形ABCD中，分别取AD、AB、CD的中点P、E、F，并沿直线PE 、PF剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如图2)．

（1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；

（2）以矩形ABCD的顶点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMN，点P在边AD上（不与点A、D重合），点M、N在x轴上（点M在N的左边）．如果点D的坐标为(5，8)，直线PM的解析式为y=kx+b，求所有满足条件的k的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），或2．

【解析】

（1）可直接沿AD、CD中点，BC、CD中点剪开；

（2）△MNP是等腰三角形，分①PM=PN，②PM=MN，③PN=MN三种情况取AB、CD的中点E、F，沿PE、PF剪开，拼接成等腰三角形，然后求出相应的k值．

（1）如图1：沿AD、CD中点，BC、CD中点剪开，即可得到一个等腰△PMN；

（2）取AB、CD的中点E、F．

∵点D的坐标为（5，8），四边形ABCD是矩形，

∴E（0，4），F（5，4）．

①如图2，若PM=PN，则P（2.5，8）．

将点P、E的坐标分别代入直线PM的解析式为y=kx+b，得：

，

解得，；

②如图3，若PM=MN，则PM=MN=10，所以，EP=5，

∵AE=4，

∴在Rt△APE中，根据勾股定理知AP==3，

∴P（3，8）．

将点P、E的坐标分别代入直线PM的解析式为y=kx+b，得：

，

解得，；

③如图4，若PN=MN，则PN=MN=10，

所以，PF=5，

∵DF=4，

∴在Rt△PDF中，根据勾股定理知PD==3，

∴P（2，8）．

将点P、E的坐标分别代入直线PM的解析式为y=kx+b，得，

解得，．

综上所述，k=，或2.

故答案是：，或2．