[题目](1)如图1.将两个全等的三角板如图摆放.其中△ABC和ΔADE的直角顶点重合在点A处.∠ADE=∠ABC=60°.且点D在AC上.点B在AE上.∠C=∠E=30°.AB=AD.AC=AE.BC=DE.BC和DE相交于点F.求证:CF=EF.(2)如图2.将这两个三角板如图摆放.直角顶点A仍然重合.BC与DE相交于点F.AC与DE交于点M.AE和BC交于点N.猜想CF和EF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】(1)如图1，将两个全等的三角板如图摆放，其中△ABC和ΔADE的直角顶点重合在点A处，∠ADE=∠ABC=60°，且点D在AC上，点B在AE上，∠C=∠E=30°，AB=AD，AC=AE，BC=DE，BC和DE相交于点F.求证:CF=EF.

(2)如图2，将这两个三角板如图摆放，直角顶点A仍然重合，BC与DE相交于点F，AC与DE交于点M，AE和BC交于点N.猜想CF和EF还相等吗?说明理由.

(3)如图3，在(2)的基础上，若∠DAM=30°.求证:线段DF和AC互相垂直平分.

【答案】（1）见解析；（2）相等，理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据AB=AD，AC=AE得出CD=BE，进而求出△CDF≌△EBF.，即可得出答案；

（2）根据题意求出∠BAN=∠DAM，进而证明△BAN≌△DAM，得出AN=AM，进一步求出CM=EN，再证明△CMF≌△ENF，即可得出答案；

（3）连接AF，求出∠CAN=60°，证明ΔACF≌△AEF得到∠CAF=∠CAN=30°，再证△ADM≌ΔAFM得到DM=FM，最后证△CFM≌△AFM得出AM=CM，即可得出答案.

(1)证明:∵AB=AD，AC=AE

∴AC=AD=AE-AB

∴CD=EB

在△CDF和△EBF中

∴△CDF≌△EBF

∴CF=EF

(2)解:相等.

理由如下:∵∠CAB=∠EAD-90°

∠CAB-∠CAE=∠EAD-∠CAE

∴∠BAN=∠DAM

在△BAN和△DAM中

∴△BAN≌△DAM

∴AN=AM

∴AC-AM=AE-AD.

∴CM=EN

在△CMF和△ENF中∠C=∠E

∴△CMF≌△ENF

∴CF=EF

(3)证明:连接AF，

当∠DAM=30°时，∠AMD=180°-∠D-∠DAM=180°-60°-30°=90°，

∴AC⊥DF，即∠AMD=∠AMF=∠CMF=90°；

∠CAN=∠DAE-∠DAM=90°-30=60°，

在△ACF和ΔAEF中，

∴ΔACF≌△AEF，

∴∠CAF=∠EAF

∴∠CAF=∠EAF=∠CAN=30°

在△ADM和△AFM中

∴△ADM≌ΔAFM

∴DM=FM，即AC平分DF

在△CFM和△AFM中

∴△CFM≌△AFM

∴AM=CM，即DF平分AC，

综上所述，AC和DF互相垂直平分.

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