Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，且BD＝CE，DC＝BF，连结DE，EF，DF，∠1＝60°

（1）求证：△BDF≌△CED．

（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

（3）若BC＝10，当BD＝　 　时，DF⊥BC．（只需写出答案，不需写出过程）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ABC是等边三角形，见解析；（3）

【解析】

（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，由已知条件即可得出△BDF≌△CED（SAS）；

（2）由（1）得△BDF≌△CED，得出∠BFD＝∠CDE，证出∠B＝∠1＝60°，即可得出△ABC是等边三角形；

（3）作FM⊥BC于M，由（1）得△BDF≌△CED，得出BF＝CD，由（2）得△ABC是等边三角形，得出∠B＝∠C＝60°，证出∠BFM＝30°，得出BM＝BF＝CD，BM＝BC＝，得出M与D重合，即可得出结论．

（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BDF和△CED中，，

∴△BDF≌△CED（SAS）；

（2）△ABC是等边三角形，理由如下：

由（1）得：△BDF≌△CED，

∴∠BFD＝∠CDE，

∵∠CDF＝∠B+∠BFD＝∠1+∠CDE，

∴∠B＝∠1＝60°，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形；

（3）当BD＝时，DF⊥BC，理由如下：

作FM⊥BC于M，如图所示：

由（1）得：△BDF≌△CED，

∴BF＝CD，

由（2）得：△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∵FM⊥BC，

∴∠BFM＝30°，

∴BM＝BF＝CD，

∴BM＝BC＝，

∴M与D重合，

∴DF⊥BC；

故答案为：