Question

11．如图所示，抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）在BC直线上找点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形是直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）待定系数法求得直线BC解析式y=x+3，设其上一点P（x，x+3），由A、C坐标可得AC²=10、AP²=（x-1）²+（x+3）²、PC²=x²+x²=2x²，分∠APC=90°、∠CAP=90°分别求解可得．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+3），
由题意，得：3=-3a，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）（x+3），即y=-x²-2x+3；

（2）设直线BC解析式为y=kx+b，
将点B（-3，0）、C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=x+3，
设点P（x，x+3），
∵点A（1，0）、C（0，3），
∴AC²=10，AP²=（x-1）²+（x+3）²，PC²=x²+x²=2x²，
①当∠APC=90°时，AC²=AP²+PC²，即10=（x-1）²+（x+3）²+2x²，
解得：x=0（舍）或x=-1，
此时点P坐标为（-1，2）；
②由题意知，显然∠ACP≠90°；
③当∠CAP=90°时，PC²=AP²+AC²，即2x²=（x-1）²+（x+3）²+10，
解得：x=-5，
此时点P的坐标为（-5，-2），
综上，点P的坐标为（-1，2）或（-5，-2）．

点评 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及两点间的距离公式、勾股定理逆定理，熟练掌握两点间的距离公式及依据勾股定理逆定理分类讨论是解题的关键．