Question

【题目】在ABCD中，过点D作对DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连结AF，BF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若CF=6，BF=8，DF=10，求证：AF是∠DAB的角平分线．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵CF=AE，

∴BE=DF．

∴四边形BFDE为平行四边形．

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°．

∴四边形BFDE是矩形

（2）证明：由（1）得，四边形BFDE是矩形，

∴∠BFD=90°．

∴∠BFC=90°，

在Rt△BFC中，由勾股定理得：BC= = =10．

∴AD=BC=10．

∵DF=10，

∴AD=DF．

∴∠DAF=∠DFA．

∵AB∥CD，

∴∠DFA=∠FAB．

∴∠DAF=∠FAB．

∴AF平分∠DAB．

即AF是∠DAB的平分线

【解析】（1）由平行四边形的性质和已知条件得出BE=DF，证明四边形BFDE为平行四边形，再由DE⊥AB，即可得出结论；（2）由矩形的性质和勾股定理求出BC，得出AD=BC=DF，证出∠DAF=∠DFA，再由平行线的性质即可得出结论．
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质和矩形的判定方法，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形即可以解答此题．