Question

【题目】抛物线y1=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．

（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，若点C在直线y2=﹣3x+t上，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，

∴C（0，﹣3）．

∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB=OC，

∴B（3，0）或B（﹣3，0）．

∵点A在点B的左侧，m＞0，

∴抛物线经过点B（3，0）．

∴0=9m+3（m﹣3）﹣3．

∴m=1．

∴抛物线的表达式为y1=x2﹣2x﹣3

（2）解：由（1）可知：y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∵点C在直线y2=﹣3x+t上，

∴t=﹣3，

∴y2=﹣3x﹣3，

y1向左平移n个单位后，则表达式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，

则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，

y2向下平移n个单位后，则表达式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，

要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，

即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，

解得：n≥1

【解析】（1）由抛物线的解析式易求点C的坐标，进而可求出点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式可求出m的值，则抛物线的解析式也可求出；（2）由点C在直线y2=﹣3x+t上，可知t=﹣3，若y1向左平移n个单位后，则表达式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，若y2向下平移n个单位后，则表达式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4 ， 进而可求出n的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数图象的平移和抛物线与坐标轴的交点的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．