Question

【题目】如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：

（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；

（2）求证：△APE∽△FPA；

（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)△CPD．理由参见解析；（2）证明参见解析；（3）PC2=PEPF．理由参见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质，利用SAS来判定两三角形全等；（2）根据第一问的全等三角形结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．

试题解析：（1）△APD≌△CPD．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．又∵PD=PD，∴△APD≌△CPD（SAS）．（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP=∠DCP，∵CD∥AB，∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，又∵∠FPA=∠FPA，∴△APE∽△FPA（两组角相等则两三角形相似）．（3）猜想：PC2=PEPF．理由：∵△APE∽△FPA，∴．即PA2=PEPF．∵△APD≌△CPD，∴PA=PC．∴PC2=PEPF．