Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒，△DCQ的面积为y₁平方厘米，△PCQ的面积为y₂平方厘米．

（1）求y₁与x的函数关系，并在图2中画出y₁的图象；
（2）如图2，y₂的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；
（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6），过G作EF垂直于x轴，分别交y₁、y₂于点E、F．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②当0＜x＜６时，求线段EF长的最大值．

Answer 1

（1）．图象如图所示：

（2）点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米；
（3）①表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）；②

试题分析：（1）已知了CD=3，根据Q点的速度可以用时间x表示出CQ的长，可根据三角形的面积计算公式得出y₁，x的函数关系式；
（2）可先求出y₂的函数式，然后根据其顶点坐标来确定k的取值．已知了P点走完AC用时8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根据三角形的面积公式列出关于y₂，x的函数关系式，进而可根据顶点坐标求出k的值；
（3）EF其实就是y₂-y₁，也就是三角形PCQ和CDQ的面积差即三角形PDQ的面积．得出EF的函数关系式后，根据自变量的取值以及函数的性质即可求出EF的最大值．
（1）∵，CD＝3，CQ＝x，
∴．图象如图所示：

（2），CP＝8k－xk，CQ＝x，
∴．
∵抛物线顶点坐标是（4，12），
∴．解得
则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米；
（3）①观察图象，知线段的长EF＝y₂－y₁，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）
②由（2）得 .
∵EF＝y₂－y₁，
∴EF＝，
∵二次项系数小于０，
∴在范围，当时，最大．
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，主要考查学生对二次函数的熟练掌握情况.