Question

如图，在?ABCD中，CE⊥AD于点E，且CB=CE，点F为CD边上的一点，CB=CF，连接BF交CE于点G．
（1）若∠D=60°，CF=2

3

，求CG的长；
（2）求证：AB=ED+CG．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，然后得到∠GBC=30°，利用tan∠GBC=

GC

BC

=

3

3

=

GC

2 3

求得GC=2；
（2）延长EC到点H，连接BH，证得△HBC≌△DCE，根据各角之间的关系得到∠4=∠GBH，从而得到BH=GH，证得DC=ED+CG．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵CE⊥AD，∴∠CED=90°=∠ECB，
∵∠D=60°，∠DEC=90°，
∴∠ECD=30°，∠BCF=120°，
∵BC=CF，
∴∠GBC=30°，
在Rt△BCG中，∠GCB=90°，
∴tan∠GBC=

GC

BC

=

3

3

=

GC

2 3

，
∴GC=2；

（2）延长EC到点H，使得DE=HC，连接BH，
∵在△HBC和△DCE中，

DE=HC ∠DEC=∠HCB EC=EB

，
∴△HBC≌△DCE，
∴∠1=∠3，BH=CD，
∵BC=CF，
∴∠2=∠5，
∵∠GBH=∠2+∠1，∠4=∠3+∠5，
∴∠4=∠GBH，
∴BH=GH，
∴DC=ED+CG，
∵DC=AB，
∴AB=ED+CG．

点评：本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分、对边平行且相等，对角相等，牢记平行四边形的性质是解答本题的关键，难度中等．