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【题目】综合与实践﹣猜想、证明与拓广

问题情境:

数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题,如图1,正方形ABCD中,点EBC边上的一点,点D关于直线AE的对称点为点F,直线DFAB于点H,直线FB与直线AE交于点G,连接DG,CG.

猜想证明

(1)当图1中的点E与点B重合时得到图2,此时点G也与点B重合,点H与点A重合.同学们发现线段GFGD有确定的数量关系和位置关系,其结论为:   

(2)希望小组的同学发现,图1中的点E在边BC上运动时,(1)中结论始终成立,为证明这两个结论,同学们展开了讨论:

小敏:根据轴对称的性质,很容易得到“GFGD的数量关系”…

小丽:连接AF,图中出现新的等腰三角形,如AFB,…

小凯:不妨设图中不断变化的角∠BAF的度数为n,并设法用n表示图中的一些角,可证明结论.

请你参考同学们的思路,完成证明;

(3)创新小组的同学在图1中,发现线段CGDF,请你说明理由;

联系拓广:

(4)如图3若将题中的正方形ABCD”变为菱形ABCD“,ABC=α,其余条件不变,请探究∠DFG的度数,并直接写出结果(用含α的式子表示).

【答案】(1) GF=GD,GF⊥GD;(2)见解析;(3)见解析;(4) 90°﹣.

【解析】

1)根据四边形ABCD是正方形可得∠ABD=ADB=45°,BAD=90°,点D关于直线AE的对称点为点F,即可证明出∠DBF=90°,故GFGD,再根据∠F=ADB,即可证明GF=GD;

(2)连接AF,证明∠AFG=ADG,再根据四边形ABCD是正方形,得出AB=AD,BAD=90°,设∠BAF=n,FAD=90°+n,可得出∠FGD=360°﹣FAD﹣AFG﹣ADG=360°﹣(90°+n)﹣(180°﹣n)=90°,故GFGD;

(3)连接BD,由(2)知,FG=DG,FGDG,再分别求出∠GFD与∠DBC的角度,再根据三角函数的性质可证明出BDF∽△CDG,故∠DGC=FDG,则CGDF;

(4)连接AF,BD,根据题意可证得∠DAM=90°﹣2=90°﹣1,DAF=2DAM=180°﹣21,再根据菱形的性质可得∠ADB=ABD=α,故∠AFB+DBF+ADB+DAF=(DFG+1)+(DFG+1+α)+α+(180°﹣21)=360°,2DFG+21+α﹣21=180°,即可求出∠DFG.

解:(1)GF=GD,GFGD,

理由:∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABD=ADB=45°,BAD=90°,

∵点D关于直线AE的对称点为点F,BAD=BAF=90°,

∴∠F=ADB=45°,ABF=ABD=45°,

∴∠DBF=90°,

GFGD,

∵∠BAD=BAF=90°,

∴点F,A,D在同一条线上,

∵∠F=ADB,

GF=GD,

故答案为:GF=GD,GFGD;

(2)连接AF,∵点D关于直线AE的对称点为点F,

∴直线AE是线段DF的垂直平分线,

AF=AD,GF=GD,

∴∠1=2,3=FDG,

∴∠1+3=2+FDG,

∴∠AFG=ADG,

∵四边形ABCD是正方形,

AB=AD,BAD=90°,

设∠BAF=n,

∴∠FAD=90°+n,

AF=AD=AB,

∴∠FAD=ABF,

∴∠AFB+ABF=180°﹣n,

∴∠AFB+ADG=180°﹣n,

∴∠FGD=360°﹣FAD﹣AFG﹣ADG=360°﹣(90°+n)﹣(180°﹣n)=90°,

GFDG,

(3)如图2,连接BD,由(2)知,FG=DG,FGDG,

∴∠GFD=GDF=(180°﹣FGD)=45°,

∵四边形ABCD是正方形,

BC=CD,BCD=90°,

∴∠BDC=DBC=(180°﹣BCD)=45°,

∴∠FDG=BDC,

∴∠FDG﹣BDG=BDC﹣BDG,

∴∠FDB=GDC,

RtBDC中,sinDFG==sin45°=

RtBDC中,sinDBC==sin45°=

∴△BDF∽△CDG,

∵∠FDB=GDC,

∴∠DGC=DFG=45°,

∴∠DGC=FDG,

CGDF;

(4)90°﹣,理由:如图3,连接AF,BD,

∵点D与点F关于AE对称,

AE是线段DF的垂直平分线,

AD=AF,1=2,AMD=90°,DAM=FAM,

∴∠DAM=90°﹣2=90°﹣1,

∴∠DAF=2DAM=180°﹣21,

∵四边形ABCD是菱形,

AB=AD,

∴∠AFB=ABF=DFG+1,

BD是菱形的对角线,

∴∠ADB=ABD=α,

在四边形ADBF中,∠AFB+DBF+ADB+DAF=(DFG+1)+(DFG+1+α)+α+(180°﹣21)=360°

2DFG+21+α﹣21=180°,

∴∠DFG=90°﹣

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第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

第七次

第八次

第九次

第十次

7

10

8

10

9

9

10

8

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7

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