【题目】综合与实践﹣猜想、证明与拓广
问题情境:
数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题,如图1,正方形ABCD中,点E是BC边上的一点,点D关于直线AE的对称点为点F,直线DF交AB于点H,直线FB与直线AE交于点G,连接DG,CG.
猜想证明
(1)当图1中的点E与点B重合时得到图2,此时点G也与点B重合,点H与点A重合.同学们发现线段GF与GD有确定的数量关系和位置关系,其结论为: ;
(2)希望小组的同学发现,图1中的点E在边BC上运动时,(1)中结论始终成立,为证明这两个结论,同学们展开了讨论:
小敏:根据轴对称的性质,很容易得到“GF与GD的数量关系”…
小丽:连接AF,图中出现新的等腰三角形,如△AFB,…
小凯:不妨设图中不断变化的角∠BAF的度数为n,并设法用n表示图中的一些角,可证明结论.
请你参考同学们的思路,完成证明;
(3)创新小组的同学在图1中,发现线段CG∥DF,请你说明理由;
联系拓广:
(4)如图3若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD“,∠ABC=α,其余条件不变,请探究∠DFG的度数,并直接写出结果(用含α的式子表示).
【答案】(1) GF=GD,GF⊥GD;(2)见解析;(3)见解析;(4) 90°﹣.
【解析】
(1)根据四边形ABCD是正方形可得∠ABD=∠ADB=45°,∠BAD=90°,点D关于直线AE的对称点为点F,即可证明出∠DBF=90°,故GF⊥GD,再根据∠F=∠ADB,即可证明GF=GD;
(2)连接AF,证明∠AFG=∠ADG,再根据四边形ABCD是正方形,得出AB=AD,∠BAD=90°,设∠BAF=n,∠FAD=90°+n,可得出∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣(90°+n)﹣(180°﹣n)=90°,故GF⊥GD;
(3)连接BD,由(2)知,FG=DG,FG⊥DG,再分别求出∠GFD与∠DBC的角度,再根据三角函数的性质可证明出△BDF∽△CDG,故∠DGC=∠FDG,则CG∥DF;
(4)连接AF,BD,根据题意可证得∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1,∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1,再根据菱形的性质可得∠ADB=∠ABD=α,故∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=(∠DFG+∠1)+(∠DFG+∠1+α)+α+(180°﹣2∠1)=360°,2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°,即可求出∠DFG.
解:(1)GF=GD,GF⊥GD,
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=∠ADB=45°,∠BAD=90°,
∵点D关于直线AE的对称点为点F,∠BAD=∠BAF=90°,
∴∠F=∠ADB=45°,∠ABF=∠ABD=45°,
∴∠DBF=90°,
∴GF⊥GD,
∵∠BAD=∠BAF=90°,
∴点F,A,D在同一条线上,
∵∠F=∠ADB,
∴GF=GD,
故答案为:GF=GD,GF⊥GD;
(2)连接AF,∵点D关于直线AE的对称点为点F,
∴直线AE是线段DF的垂直平分线,
∴AF=AD,GF=GD,
∴∠1=∠2,∠3=∠FDG,
∴∠1+∠3=∠2+∠FDG,
∴∠AFG=∠ADG,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
设∠BAF=n,
∴∠FAD=90°+n,
∵AF=AD=AB,
∴∠FAD=∠ABF,
∴∠AFB+∠ABF=180°﹣n,
∴∠AFB+∠ADG=180°﹣n,
∴∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣(90°+n)﹣(180°﹣n)=90°,
∴GF⊥DG,
(3)如图2,连接BD,由(2)知,FG=DG,FG⊥DG,
∴∠GFD=∠GDF=(180°﹣∠FGD)=45°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
∴∠BDC=∠DBC=(180°﹣∠BCD)=45°,
∴∠FDG=∠BDC,
∴∠FDG﹣∠BDG=∠BDC﹣∠BDG,
∴∠FDB=∠GDC,
在Rt△BDC中,sin∠DFG==sin45°=,
在Rt△BDC中,sin∠DBC==sin45°=,
∴,
∴,
∴△BDF∽△CDG,
∵∠FDB=∠GDC,
∴∠DGC=∠DFG=45°,
∴∠DGC=∠FDG,
∴CG∥DF;
(4)90°﹣,理由:如图3,连接AF,BD,
∵点D与点F关于AE对称,
∴AE是线段DF的垂直平分线,
∴AD=AF,∠1=∠2,∠AMD=90°,∠DAM=∠FAM,
∴∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1,
∴∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴∠AFB=∠ABF=∠DFG+∠1,
∵BD是菱形的对角线,
∴∠ADB=∠ABD=α,
在四边形ADBF中,∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=(∠DFG+∠1)+(∠DFG+∠1+α)+α+(180°﹣2∠1)=360°
∴2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°,
∴∠DFG=90°﹣.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,为原点,点坐标为,点坐标为,以为直径的圆与轴的负半轴交于点.
(1)求图象经过,,三点的抛物线的解析式;
(2)设点为所求抛物线的顶点,试判断直线与的关系,并说明理由.
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【题目】小美周末来到公园,发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼,而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的.规定:
①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入;
②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开,则可获得一只价值5元小兔玩具,否则应付费3元.
(1)问小美得到小兔玩具的机会有多大?
(2)假设有100人次玩此游戏,估计游戏设计者可赚多少元?
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【题目】如图,线段CD垂直平分线段AB,垂足为H,CA的延长线交BD的延长线于E,CB的延长线交AD的延长线于F.
(1)求证:DE=DF;
(2)若AE=AB,∠E=22.5°,则直接写出图中内角含有45°等腰三角形(写出3个即可).
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【题目】阅读下面材料:材料1:如果一个多项式中的字母按照任何次序轮换后,原多项式不变,那么称该多项式是轮换多项式,简称轮换式.例如:多项式,将字母换字母,字母换字母,得到多项式,而,所以多项式是轮换式.我们把含有两个字母的轮换式称为二元轮换式,其中含字母,的二元轮换式的基本轮换式是和,像,等二元轮换式都可以用,表示,例如:.
材料2:因为,所以,对于二次项系数为1的二次三项式的因式分解,就是把常数项分解成两个数的积,且使这两数的和等于,即如果有,两数满足,,则有.如分解因式:因为,,所以.
请根据以上材料解决下列问题:
(1)式子①;②;③,④中,属于轮换式的是 (填序号);
(2)因式分解: ; ;
(3)若(其中),且,求的值并把式子因式分解.
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【题目】据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速,如图所示,观测点C到公路的距离CD=200m,检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上,终点B位于点C的南偏东45°方向上.一辆轿车由东向西匀速行驶,测得此车由A处行驶到B处的时间为10s.问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度?(观测点C离地面的距离忽略不计,参考数据:≈1.41,≈1.73)
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【题目】甲乙两名运动员进行射击选拨赛,每人射击10次,其中射击中靶情况如表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 第七次 | 第八次 | 第九次 | 第十次 | |
甲 | 7 | 10 | 8 | 10 | 9 | 9 | 10 | 8 | 10 | 9 |
乙 | 10 | 7 | 10 | 9 | 9 | 10 | 8 | 10 | 7 | 10 |
(1)选手甲的成绩的中位数是 分;选手乙的成绩的众数是 分;
(2)计算选手甲的平均成绩和方差;
(3)已知选手乙的成绩的方差是15,则成绩较稳定的是哪位选手?请直接写出结果.
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【题目】如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.
(1)证明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,
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【题目】如图所示,△ABD和△BCD都是等边三角形,E、F分别是边AD、CD上的点,且DE=CF,连接BE、EF、FB.
求证:(1)△ABE≌△DBF;
(2)△BEF是等边三角形.
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