Question

7．抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-1）²，顶点为M，直线AB交抛物线于A、B两点，且MA⊥MB，求证：直线AB过定点．

Answer 1

分析 设直线AB方程为y=kx+b（k≠0），将直线AB方程代入抛物线方程y=$\frac{1}{2}$（x-1）²，得到x²-2（k+1）x+1-2b=0，利用根与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征和勾股定理得到（k+b）（k+b-2）=0，由此易求直线AB所经过的定点坐标．

解答 证明：由抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-1）²，得到顶点M的坐标是（1，0），
设直线AB方程为y=kx+b（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB方程代入抛物线方程y=$\frac{1}{2}$（x-1）²，得kx+b=$\frac{1}{2}$（x-1）²，
整理得：x²-2（k+1）x+1-2b=0，
则x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=1-2b，
∵MA⊥MB，
∴（x₁-1）²+y₁²+（x₂-1）²+y₂²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，即1-（x₁+x₂）=-x₁•x₂-y₂•y₁
∴1-（x₁+x₂）=x₁•x₂-$\frac{1}{4}$（x₁-1）²（x₂-1）²=-x₁•x₂-$\frac{1}{4}$[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]，即1-2（k+1）=-1+2b-$\frac{1}{4}$[1-2b-2k-2+1]²，
整理，得
（k+b）（k+b-2）=0，
则k+b=0或k+b=2，
即直线AB经过点（1，0）或（1，2）．
∵顶点M的坐标是（1，0），
∴直线AB经过定（1，2）．

点评 本题考查了二次函数的性质．注意：解得直线AB经过点（1，0）或（1，2）时，需要舍去点（1，0），因为与顶点M重合．