Question

18．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F．
（1）求证：CE=CF；
（2）当∠B=30°，AC=2$\sqrt{3}$时，将△ADE沿AB平移至△A₁D₁E₁的位置，使E₁在BC上，求BE₁的长．

Answer 1

分析 （1）由∠C=90°，可得：∠CAF+∠CFE=90°，由CD⊥AB于D，可得：∠ADE=90°，由直角三角形两锐角互余可得：∠EAD+∠AED=90°，然后由AF平分∠CAB交CD于E，可得：∠CAF=∠EAD，最后根据等角的余角相等可得：∠CFE=∠CEF，然后根据等角对等边可得：CE=CF；
（2）由∠B=30°，可得∠CAB=60°，进而可得：∠ACD=30°，然后由30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得：AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，然后由角平分线的定义，可得：∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAD=30°，然后根据勾股定理可得DE=1，然后由平移的性质可得：D₁E₁=DE=1，然后利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得：BE₁=2D₁E₁=2．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴∠CAF+∠CFE=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠ADE=90°，
∴∠EAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB交CD于E，
∴∠CAF=∠EAD，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF；
（2）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵∠ADE=90°
∴∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵∠CAF=∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAD=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE，
由勾股定理得：AE²-DE²=AD²，
即：（2DE）²-DE²=（$\sqrt{3}$）²，
解得：DE=1，
∵△ADE沿AB平移至△A₁D₁E₁的位置，
∴D₁E₁=DE=1，
在Rt△BD₁E₁中，∵∠B=30°，
∴BE₁=2D₁E₁=2．

点评 此题考查了直角三角形的性质，等腰三角形判定与性质，平移的性质，解题的关键是：30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．