Question

【题目】在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．

（1）如图①，连接AE，

①AE与AC的数量关系是　　；

②设∠BAF=a，用a表示∠BCF的大小；

（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）①AE=AC；②∠BCF=α；（2）结论：AF=EF+CF．证明见解析．

【解析】

（1）①可得AE=AB，AB=AC，则AE=AC；
②根据∠BCF=∠ACE-∠ACB，求出∠ACE，∠ACB即可．
（2）结论：AF=EF+CF．如图，作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF．证明△ACG≌△BCF即可解决问题．

（1）①∵点B关于射线AD的对称点为E，

∴AE=AB．

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，

∴AE=AC．

故答案为：AE=AC．

②解：∵∠BAF=∠EAF=α，△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

∴∠EAC=60°﹣2α，AE=AC，

∴∠ACE= [180°﹣（60°﹣2α）]=60°+α，∴∠BCF=∠ACE﹣∠ACB=60°+α﹣60°=α．

（2）结论：AF=EF+CF．

证明：如图，作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF．

∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，

∴∠ABC=∠AFC=60°，

∴△FCG是等边三角形，

∴GF=FC．

∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∴∠ACG=∠BCF=α，

在△ACG和△BCF中，

，

∴△ACG≌△BCF（SAS），

∴AG=BF．

∵点B关于射线AD的对称点为E，

∴BF=EF，

∴AF﹣AG=GF，

∴AF=EF+CF．