Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，AB=AN，连结CD、BN，CD的延长线交BN于点F．
（1）当∠ADN等于多少度时，∠ACE=∠EBF，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE≌△FBE，并说明理由．

Answer 1

解：（1）当∠ADN等于90度时，∠ACE=∠EBF．
理由如下：
∵∠ACB=∠ADN=90°，
∴△ABC和△AND均为直角三角形
又∵AC=AD，AB=AN，
∴△ABC≌△AND，
∴∠CAB=∠DAN，
∴∠CAD=∠BAN，
又∠ACD=∠ADC，∠ABN=∠ANB，
∴∠ACD=∠ABN 即∠ACE=∠EBF；

（2）当β=2α时，△ACE≌△FBE．
理由如下：
在△ACD中，∵AC=AD，
∴，
在Rt△ABC中，
∠ACD+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=α．
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由（1）知：∠ACE=∠EBF，又∠AEC=∠BEF
∴△ACE≌△FBE．
分析：（1）当∠ADN等于90度时，∠ACE=∠EBF，首先证明△ABC≌△AND，根据全等三角形的性质和已知条件即可得证；
（2）当β=2α时，△ACE≌△FBE，利用已知得出CE=BE，再利用∠ACE=∠EBF，又∠AEC=∠BEF，得出即可．
点评：本题主要考查了直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质与判定是解题的关键．