Question

6．已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，p，q满足p²=4q+4
（1）抛物线在x轴上截得的线段AB长是否是定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
（2）若点C的坐标为（0，-1），当△ABC是等腰三角形时，求p+q的值．

Answer 1

分析 （1）设A、B点的横坐标为x₁，x₂（点A在点B的左侧），令y=x²+px+q中y=0得出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出“x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q”，再将AB=x₂-x₁变形为只含x₁+x₂与x₁•x₂的形式，代入数据即可得出结论；
（2）分AC=BC、AB=BC和AB=AC三种情况讨论．结合点C的坐标、AB=2即可得出x₁，x₂的值，代入x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q中即可求出p、q的值，将二者相加即可得出结论．

解答 解：（1）设A、B点的横坐标为x₁，x₂，
令y=x²+px+q中y=0，则x²+px+q=0．
∵x₁，x₂为方程x²+px+q=0的两个实数根．
∴x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴AB=x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{（-p）^{2}-4q}$=2．
∴抛物线在x轴上截得的线段AB长是定值，且AB=2．
（2）△ABC是等腰三角形分三种情况（如图所示）：
①当AC=BC时，有OA=OB，
∵AB=2，
∴x₁=-1，x₂=1．
∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴p=0，q=-1，
∴p+q=-1；
②当AB=BC时，则BC=AB=2，
∵OC=1，
∴OB=$\sqrt{3}$，
∴x₂=-$\sqrt{3}$，x₁=-$\sqrt{3}$-2．
∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴p=2$\sqrt{3}$+2，q=3+2$\sqrt{3}$，
∴p+q=5+2$\sqrt{3}$；
③当AB=AC时，则AC=AB=2，
∵OC=1，
∴OB=$\sqrt{3}$，
∴x₁=$\sqrt{3}$，x₂=$\sqrt{3}$+2．
∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴p=-2$\sqrt{3}$-2，q=3+2$\sqrt{3}$，
∴p+q=1．
综上可知：当△ABC是等腰三角形时，p+q的值为-1、5+2$\sqrt{3}$或1．

点评 本题考查了根与系数的关系以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）根据p²=4q+4找出AB=2；（2）分AC=BC、AB=BC和AB=AC三种情况讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰三角形的性质找出点A、B的坐标是关键．