Question

7．观察下列各式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…
   （1）根据以上式子填空：
①$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$；  ②$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n是正整数）
（2）已知|x-1|+（xy-2）²=0，根据以上式子及你所发现的规律计算：
$\frac{1}{xy}$+$\frac{1}{（x+1）（y+1）}$+$\frac{1}{（x+2）（y+2）}$+…+$\frac{1}{{（{x+2010}）（{y+2010}）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得；
（2）根据非负数的性质可得x=1、y=2，将其代入到原式，根据（1）中规律裂项法求解可得．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…，
∴①$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$，②$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案为：①$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$；②$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）∵|x-1|+（xy-2）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{xy-2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
则原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2011×2012}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2012}$
=1-$\frac{1}{2012}$
=$\frac{2011}{2012}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律和非负数的性质，根据题意得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差是解题的关键．