Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），E（3，0），与y轴交于点B，且该函数的最大值是4．
（1）抛物线的顶点坐标是（______，______）；
（2）求该抛物线的解析式和B点的坐标；
（3）设抛物线顶点是D，求四边形AEDB的面积；
（4）若抛物线y=mx²+nx+p与上图中的抛物线关于x轴对称，请直接写出m的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），E（3，0），
∴抛物线的对称轴是x==1，
∴顶点的横坐标是：1，
∵函数的最大值是4．
∴顶点的纵坐标是：4，
抛物线的顶点坐标是（1，4）．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，
∵抛物线顶点坐标为（1，4），
∴y=a（x-1）²+4，
又∵抛物线过点A（-1，0），∴4a+4=0，解得a=-1．
∴y=-x²+2x+3（或y=-（x-1）²+4为所求）．
当x=0时，y=3，∴B（0，3）．

（3）过点D作DH⊥x轴于点H，
∵A（-1，0），B（0，3），∴OA=1，OB=3，
∴S_△AOB=×OA×OB=；
又∵D（1，4），E（3，0），∴DH=4，EH=2
∴S_△DHE=×DH×HE=4；
又∵B（0，3），D（1，4），∴S_梯形BOHD=×（OB+DH）×OH=；
∴S_{四边形AEDB}=S_△AOB+S_梯形BOHD+S_△DHE=9．

（4）m=1．
分析：（1）因为抛物线与x轴交于点A（-1，0），E（3，0），所以可求出对称轴即顶点的横坐标，又函数的最大值是4，所以可求出顶点的纵坐标是：4；
（2）设出函数的顶点式表达式为y=a（x-h）²+k，由（1）知h，k，再把A或E点的再把代入可求出a，所以函数的解析式明确了，B点的坐标即函数x=0时的函数值．
（3）把四边形AEDB的面积分割为S_△AOB⁺S_△DHE⁺S_{梯形BOHD可得问题答案．}
（4）若抛物线y=mx²+nx+p和已知抛物线关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．
点评：本题考查了求二次函数的解析式，顶点坐标，以及特殊的点围成的图象的面积，综合性很强，难度不大．