Question

【题目】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2b= asinB+bcosA，c=4． （Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若D是BC的中点，AD= ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵2b= asinB+bcosA，可得：2sinB= sinAsinB+sinBcosA， ∴由于sinB≠0，可得：2= sinA+cosA，
∴sin（A+ ）=1，
∵A∈（0，π），可得：A+ ∈（ ， ），
∴A+ = ，解得：A=
（Ⅱ）设BD=CD=x，则BC=2x，
由于cosA= = ，可得：4x2=b2﹣4b+16，
∵∠ADB=180°﹣∠ADC，
∴cos∠ADB+cos∠ADC=0，…8分
∵ + =0，可得：2x2=b2+2，
∴联立①②可得：b2+4b﹣12=0，解得：b=2
∴S△ABC= bcsinA= =2
【解析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得2= sinA+cosA，利用两角和的正弦函数公式可得sin（A+ ）=1，结合A的范围，利用正弦函数的图象可求A的值．（Ⅱ）设BD=CD=x，则BC=2x，由余弦定理可求4x2=b2﹣4b+16，又由cos∠ADB+cos∠ADC=0，利用余弦定理可得2x2=b2+2，联立可得b的值，根据三角形面积公式即可计算得解．
【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义，需要了解正弦定理:才能得出正确答案．