Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（-$\sqrt{3}$，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．

Answer 1

分析 解直角三角形得出AO=OD=2，∠AOE=30°，得出∠AOD=60°，然后求出△AOD是等边三角形，再利用全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质得出DF=$\sqrt{3}$CF，进而得出函数解析式即可．

解答 解：如图，在y轴上截取OD=2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD，
∵点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，1），
∴tan∠AOE=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=OD=2，∠AOE=30°，
∴∠AOD=60°．
∴△AOD是等边三角形，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，
∴∠CAB-∠DAB=∠OAD-∠DAB，即∠DAC=∠OAB，
在△ADC和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠DAC=∠OAB}\\{AD=AO}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AOB（SAS）．
∴∠ADC=∠AOB=150°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠CDF=30°．
∴DF=$\sqrt{3}$CF．
∵C（x，y）且点C在第一象限内，
∴y-2=$\sqrt{3}$x，
∴y=$\sqrt{3}$x+2（x＞0）．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标和图形的性质，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键．