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【题目】已知,在△ABC中,∠BAC=90°∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合)以AD为边做正方形ADEF,连接CF

(1)如图,当点D在线段BC上时,求证:CF+CD=BC;

(2)如图,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;

(3)如图,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A、F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;

直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;

若正方形ADEF的边长为,对角线AE、DF相交于点O,连接OC求OC的长度

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、CF-CD=BC;(3)、CD-CF=BC;2.

【解析】

试题分析:(1)、根据正方形的性质判定出BAD和CAF全等,从而得出BD=CF,根据BD+CD=BC得出答案;(2)、根据图形得出线段之间的关系;(3)、首先根据正方形的性质证明BAD和CAF全等,然后得出ACF=ABD=135°,从而说明FCD为直角三角形,根据正方形的对角线得出DF的长度,然后根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OC的长度.

试题解析:(1)、∵∠BAC=90°ABC=45°∴∠ACB=ABC=45°AB=AC,

四边形ADEF是正方形,AD=AF,DAF=90°

∵∠BAD=90°-DAC,CAF=90°-DAC,∴∠BAD=CAF,

则在BAD和CAF中, ∴△BAD CAF(SAS),BD=CF,

BD+CD=BC,CF+CD=BC;

(2)、CF-CD=BC

(3)、CD-CF =BC.

②∵∠BAC=90°ABC=45°∴∠ACB=ABC=45°AB=AC, 四边形ADEF是正方形,

AD=AF,DAF=90° ∵∠BAD=90°-BAF,CAF=90°-BAF,∴∠BAD=CAF,

则在BAD和CAF中,∴△BAD CAF(SAS),

∴∠ABD=ACF,∵∠ABC=45°ABD=135° ∴∠ACF=ABD=135°

∴∠FCD=90°∴△FCD是直角三角形. 正方形ADEF的边长为且对角线AE、DF相交于点O,

DF=AD=4,O为DF中点. OC=DF=2.

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(1)如图1,在ABC中,点D、F在AB上,E、G在AC上,DEFCBC.若AD=2,AE=1,DF=6,则EG= =

(2)如图2,在ABC 中,点D、F在AB上,E、G在AC上,且DEBCFG.以AD、DF、FB为边构造ADM(即AM=BF,MD=DF);以AE、EG、GC为边构造AEN(即AN=GC,NE=EG).

求证:M=N.

【深入探究】

上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题:

(3)如图3,已知ABC和线段a,请用直尺与圆规作A′B′C′.

满足:①A′B′C′∽△ABC;②A′B′C′的周长等于线段a的长度.(保留作图痕迹,并写出作图步骤)

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(2)几秒后,点P、Q两点相距10cm?
(3)如图2,AO=PO=4cm,∠POB=60°,现点P绕着点O以30°/秒的速度逆时针旋转一周停止,同时点Q沿直线B自B点向A点运动,假若点P,Q两点能相遇,求点Q的运动速度.

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