Question

10．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点G．
（1）如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是正方形；
（2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F．
①求证：BF=AB+DF；
②若AD=$\sqrt{2}$AB，试探索线段DF与FC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是正方形，理由为：由折叠得到两对边相等，三个角为直角，确定出四边形ABEG为矩形，再由矩形对边相等，等量代换得到四条边相等，即邻边相等，即可得证；
（2）①如图2，连接EF，由ABCD为矩形，得到两组对边相等，四个角为直角，再由E为AD中点，得到AE=DE，由折叠的性质得到BG=AB，EG=AE=ED，且∠EGB=∠A=90°，利用HL得到直角三角形EFG与直角三角形EDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DF=FG，由BF=BG+GF，等量代换即可得证；
②CF=DF，理由为：不妨假设AB=DC=a，DF=b，表示出AD=BC，由①得：BF=AB+DF，进而表示出BF，CF，在直角三角形BCF中，利用勾股定理列出关系式，整理得到a=2b，由CD-DF=FC，代换即可得证．

解答 解：（1）如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是正方形，
理由为：由折叠得：AB=BG，AE=EG，∠EGB=∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABEG为矩形，
∴EG=AB，
∴AB=BG=AE=EG，
则四边形ABEG为正方形；
故答案为：正方形；
（2）①如图2，连结EF，

在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=ED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴DF=FG，
∴BF=BG+GF=AB+DF；
②不妨假设AB=DC=a，DF=b，
∴AD=BC=$\sqrt{2}$a，
由①得：BF=AB+DF，
∴BF=a+b，CF=a-b，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF²=BC²+CF²，即（a+b）²=（$\sqrt{2}$a）²+（a-b）²，
整理得：4ab=2a²，
∵a≠0，
∴a=2b，即CD=2DF，
∵CF=CD-DF，
∴CF=DF．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：折叠的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．