Question

16．已知：如图所示，抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S_△PAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设P（t，-t²+4t-3），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•2•|-t²+4t-3|=1，然后去绝对值得到两个一元二次方程，再解方程求出t即可得到P点坐标．

解答 解：（1）抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3；
（2）设P（t，-t²+4t-3），
因为S_△PAB=1，AB=3-1=2，
所以$\frac{1}{2}$•2•|-t²+4t-3|=1，
当-t²+4t-3=1时，t₁=t₂=2，此时P点坐标为（2，1）；
当-t²+4t-3=-1时，t₁=2+$\sqrt{2}$，t₂=2-$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（2+$\sqrt{2}$，-1）或（2-$\sqrt{2}$，-1），
所以满足条件的P点坐标有3个，它们是（2，1）或（2+$\sqrt{2}$，-1）或（2-$\sqrt{2}$，-1）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．