Question

3．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是1.25．

Answer 1

分析 取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BD=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．

解答 解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=$\frac{1}{2}$AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BH}\\{∠MBG=∠NBH}\\{MB=NB}\end{array}\right.$，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH=$\frac{1}{2}$×60°=30°，CG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×5=2.5，
∴MG=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{1}{2}$×2.5=1.25，
∴HN=1.25，
故答案为：1.25．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．