Question

【题目】已如抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，﹣）和（m﹣b，m2﹣mb+n），其中a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0．

（1）求c的值；

（2）求证：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点；

（3）当﹣1≤x≤1时，设抛物线y＝ax2+bx+c与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0|的最小值．

Answer 1

【答案】（1）c＝；（2）见解析；（3）当b＝0，x0＝0时，这时|yo|取最小值，为|yo|＝

【解析】

（1）将（0，）代入抛物线y=ax2+bx+c中即可；

（2）先求n的值，再将点的坐标（m-b，m2-mb+n）代入y=ax2+bx+c中，计算△＞0即可；

（3）先根据公式分别求抛物线的对称轴和最小值，分四种情况进行讨论：

①当＜-1，即b＞2时，如图1，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），在x轴下方与x轴距离最大的点是（-1，yo），代入抛物线的解析式中分别求|H|和|h|，作判断即可；

②当-1≤≤0，即0≤b≤2时，如图2，

③当0＜≤1，即-2≤b＜0时，如图3，

④当1＜，即b＜-2时，如图4，

根据图象分别求其y0的取值范围，可得结论．

解：（1）∵（0，）在y＝ax2+bx+c上，

∴＝a×02+b×0+c，

∴c＝；

（2）又可得 n＝，

∵点（m﹣b，m2﹣mb+n）在y＝ax2+bx+c上，

∴m2﹣mb＝a（m﹣b）2+b（m﹣b），

∴（a﹣1）（m﹣b）2＝0，

若（m﹣b）＝0，则（m﹣b，m2﹣mb+n）与（0，）重合，与题意不合，

∴a＝1，

∴抛物线y＝ax2+bx+c，就是y＝x2+bx﹣，

△＝b2﹣4ac＝b2﹣4×（）＝b2+2＞0，

∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点；

（3）抛物线y＝x2+bx的对称轴为，最小值为，

设抛物线y＝x2+bx在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H，在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h，

①当＜﹣1，即b＞2时，如图1，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），

∴|H|＝yo＝+b＞，

在x轴下方与x轴距离最大的点是（﹣1，yo），

∴|h|＝|yo|＝|﹣b|＝b﹣＞，

∴|H|＞|h|，

∴这时|yo|的最小值大于；

②当﹣1≤≤0，即0≤b≤2时，如图2，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），

∴|H|＝yo＝+b≥，当b＝0时等号成立．

在x轴下方与x轴距离最大的点是，

∴|h|＝||＝≥，当b＝0时等号成立．

∴这时|yo|的最小值等于．

③当0＜≤1，即﹣2≤b＜0时，如图3，在x轴上方与x轴距离最大的点是

（﹣1，yo），

∴|H|＝yo＝1+（﹣1）b﹣＝﹣b＞，在x轴下方与x轴距离最大的点是 ，

∴|h|＝|yo|＝||＝＞．

∴这 时|yo|的 最 小 值 大 于．

④当1＜，即b＜﹣2时，如图4，在x轴上方与x轴距离最大的点是（﹣1，yo），

∴|H|＝﹣b＞，在x轴下方与x轴距离最大的点是（1，yo），

∴|h|＝|+b|＝﹣（b+）＞，

∴|H|＞|h|，

∴这时|yo|的最小值大于，

综上所述，当b＝0，x0＝0时，这时|yo|取最小值，为|yo|＝．