Question

若方程（a²+c²）x²+2（b²-c²）x+c²-b²=0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三条边，求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

考点：根的判别式,因式分解的应用,等腰三角形的判定

专题：

分析：先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b、c的关系即可．

解答：证明：∵方程（a²+c²）x²+2（b²-c²）x+c²-b²=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即[2（b²-c²）]²-4（a²+c²）（c²-b²）=0，即（b²-c²）（b²-c²+a²+c²）=0
∴（b²-c²）（b²+a²）=0
∵b²+a²＞0
∴b²-c²=0，即b=c，
∴△ABC是等腰三角形．

点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．