Question

抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线顶点为D，若点P在该抛物线的对称轴上，当∠OPB为锐角时，试求点P纵坐标的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：由条件可求得抛物线的对称轴为x=1，可设P点坐标为（1，y），设对称轴与x轴的交点为Q，可求得当∠OPB为直角时点P的纵坐标，当点P向上运动时∠OPB变为锐角，可求得纵坐标的范围，同理在x轴的下方也可求得其范围．

解答：解：
∵抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为x=1，
设点P坐标为（1，y），对称轴与x轴的交点为Q，
当点P在x轴上方时，可知点P越向上则∠OPB越小，
当∠OPB为直角时，则∠POQ+∠OPQ=∠POQ+∠PBO=90°，
∴∠OPQ=∠PBO，且∠PQO=∠PQB，
∴△OPQ∽△BPQ，
∴

OQ

PQ

=

PQ

BQ

，即

1

PQ

=

PQ

2

，解得PQ=

2

，即y=

2

所以当∠OPB为锐角时，y＞

2

，
同理当点P在x轴下方时，可知P点越向下则∠OPB越小，
可求得当∠OPB为锐角时，y＜-

2

，
综上可知当∠OPB为锐角时，点P纵坐标的取值范围为大于

2

或小于-

2

．

点评：本题主要考查二次函数对称轴及函数图象的对称性，由条件求得∠OPB为直角时点P的纵坐标是解题的关键．