【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,作OD∥BC与过点A的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AE=6,CE=2 . ①求⊙O的半径
②求线段CE,BE与劣弧 所围成的图形的面积(结果保留根号和π)
【答案】
(1)解:连结OC,如图,
∵AD为⊙O的切线,
∴AD⊥AB,
∴∠BAD=90°,
∵OD∥BC,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵OB=OC,
∴∠3=∠4,
∴∠1=∠2,
在△OCD和△OAD中, ,
∴△AOD≌△COD(SAS);
∴∠OCD=∠OAD=90°,
∴OC⊥DE,
∴DE是⊙O的切线
(2)解:①设半径为r,则OE=AE﹣OA=6﹣r,OC=r,
在Rt△OCE中,∵OC2+CE2=OE2,
∴r2+(2 )2=(6﹣r)2,解得r=2,
②∵tan∠COE= =
=
,
∴∠COE=60°,
∴S阴影部分=S△COE﹣S扇形BOC
= ×2×2
﹣
=2 ﹣
π
【解析】(1)连结OC,如图,先根据切线的性质得∠BAD=90°,再根据平行线的性质,由OD∥BC得∠1=∠3,∠2=∠4,加上∠3=∠4,则∠1=∠2,接着证明△AOD≌△COD,得到∠OCD=∠OAD=90°,于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线;(2)①设半径为r,则OE=AE﹣OA=6﹣r,OC=r,在Rt△OCE中利用勾股定理得到r2+(2 )2=(6﹣r)2 , 解得r;②利用正切函数求出∠COE=60°,然后根据扇形面积公式和S阴影部分=S△COE﹣S扇形BOC进行计算即可.
【考点精析】掌握三角形的外接圆与外心和切线的性质定理是解答本题的根本,需要知道过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心;切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径.
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【题目】如图,已知E、F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF与DE交于点M,O为BD的中点,则下列结论:①∠AME=90°;②∠BAF=∠EDB;③∠BMO=90°;④MD=2AM=4EM;⑤AM= MF.其中正确结论的个数是( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
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【题目】阅读下面材料并解决有关问题:
我们知道:|x|=.现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时,可令x+1=0和x﹣2=0,分别求得x=﹣1,x=2(称﹣1,2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值).在实数范围内,零点值x=﹣1和,x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
①x<﹣1;②﹣1≤x<2;③x≥2.
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况:
①当x<﹣1时,原式=﹣(x+1)﹣(x﹣2)=﹣2x+1;
②当﹣1≤x<2时,原式=x+1﹣(x﹣2)=3;
③当x≥2时,原式=x+1+x﹣2=2x﹣1.综上讨论,原式=.
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)化简代数式|x+2|+|x﹣4|.
(2)求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. 若|a|=﹣a,则 a 一 定是负数
B. 单项式 x3y2z 的系数为 1,次数是 6
C. 若 AP=BP,则点 P 是线段 AB 的中点
D. 若∠AOC=∠AOB,则射线 OC 是∠AOB 的平分线
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,AD=20,则BC的长是 ( )
A. 20 B. 20 C. 30 D. 10
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【题目】某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱,两种饮料每箱进价和售价如下表所示:
饮料 | 果汁饮料 | 碳酸饮料 |
进价(元/箱) | 55 | 36 |
售价(元/箱) | 63 | 42 |
设购进果汁饮料x箱(x为正整数),且所购进的两种饮料能全部卖出,获得的总利润为w元(注:总利润=总售价﹣总进价).
(1)求总利润w关于x的函数关系式;
(2)如果购进两种饮料的总费用不超过2000元,那么该商场如何进货才能获利最多?并求出最大利润.
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【题目】火车站、机场、邮局等场所都有为旅客提供打包服务的项目.现有一个长、宽、高分别为a、b 、30的箱子(其中a>b),准备采用如图①、②的两种打包方式,所用打包带的总长(不计接头处的长)分别记为.
(1)图①中打包带的总长=________.
图②中打包带的总长=________.
(2)试判断哪一种打包方式更节省材料,并说明理由.(提醒:先判断再说理,说理过程即为比较 的大小.)
(3)若b=40且a为正整数,在数轴上表示数的两点之间有且只有19个整数点,求a 的值.
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【题目】如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.
(1)求证:BE=AD;
(2)求AD的长.
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