Question

【题目】如图，⊙O的直径为，点在圆周上（异于），是的平分线，.

（1）求证：直线是⊙O的切线；

（2）若=3，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．

（2）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，根据勾股定理求出AC＝4，然后证出△ABC∽△ACD，利用相似三角形的对应边成比例列式解答即可．

试题解析：

（1）证明：连接OC，

∵AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC＝∠BAC，

又∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，

∴∠ACB＝90°，

又∵BC＝3，AB＝5，

∴由勾股定理得AC＝4．

∵∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠D＝ 90°，

∴△ABC∽△ACD，

∴，

∴，

解得：AD＝．