Question

如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点E．
（1）求证：E是AB中点；
（2）过点E作MN⊥OA于N，且交⊙O于M，过B点作⊙C的切线BF，切点为F，连结AM，试确定BF与AM的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OE，运用圆周角定理的推论证明∠OEA=90°，借助垂径定理即可解决问题．
（2）如图2，作辅助线，构造直角三角形，运用射影定理、切割线定理及其推论即可解决问题．

解答：解：（1）连接OE；
∵AO为⊙O的直径，
∴∠OEA=90°，即OE⊥AB，
∴AE=EB，
即E是AB中点．
（2）AM=BF；
延长AO交⊙O于点P，连接MP、BP．
∵AP为⊙O的直径，
∴∠AMP=90°，即△AMP为直角三角形；
又∵MN⊥AP，
∴AM²=AN•AP（射影定理）；
∵AP为⊙O的直径，
∴∠ABP=90°，
∴∠ENP+∠ABP=180°，
∴B、E、N、P四点共圆，
∴AE•AB=AN•AP；
∵AE=BE，
∴BE•AB=AN•AP，
∴AM²=BE•AB；
∵BF为⊙C的切线，
∴BF²=BE•AB，
∴AM²=BF²，
∴AM=BF．

点评：本题在考查圆的切线的性质定理及其应用的同时，还渗透了对射影定理、切割线定理、圆内接四边形判定及其应用等知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．