Question

9．已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，-3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；
（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；
（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出∠ABC的度数；
（3）利用∠ACB=∠PAB，结合相似三角形的判定与性质得出BP的长，进而得出P点坐标．

解答 解：（1）将点A的坐标（-1，0），点C的坐标（0，-3）代入抛物线解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=x²-2x-3；

（2）由（1）得：0=x²-2x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，故B点坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{d=-3}\\{3k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
故直线BC的解析式为：y=x-3，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BO=OC=3，
∴∠ABC=45°；

（3）过点P作PD⊥x轴于点D，
∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，
∴△ABP∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$，
∵BO=OC=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{BP}{4}$，
解得：BP=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
由题意可得：PD∥OC，
∴DB=DP=$\frac{8}{3}$，
∴OD=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
则P（$\frac{1}{3}$，-$\frac{8}{3}$）．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，熟练应用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解题关键．