Question

【题目】某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣h）2+0.4刻画．

（1）求h的值．

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：

生长率p	0.2	0.25	0.3	0.35
提前上市的天数m（天）	0	5	10	15

求：①m关于p的函数表达式；

②用含t的代数式表示m．

③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）

Answer 1

【答案】（1）29；（2）①m＝100p﹣20；②m＝ ；③29，理由见解析.

【解析】

（1）把（25，0.3）代入p＝﹣（t﹣h）2+0.4中，便可求得h；

（2）①由表格可知，m是p的一次函数，由待定系数法可解；

②分别求出当10≤t≤25时和当25≤t≤37时的函数解析式即可；

③分别求出当20≤t≤25时，增加的利润和当25＜t≤37时，增加的利润，然后比较两种情况下的最大值，即可得结论．

解：（1）把（25，0.3）代入p＝﹣（t﹣h）2+0.4得：0.3＝﹣（25﹣h）2+0.4，

解得：h＝29或h＝21，

∵25≤t≤37

∴h＝29．

（2）①由表格可知，m是p的一次函数，

设m＝kp+b，

把（0.2，0），（0.3，10）代入得

解得

∴m＝100p﹣20．

②当10≤t≤25时，p＝t﹣，

∴m＝100（t﹣）﹣20＝2t﹣40；

当25≤t≤37时，p＝﹣（t﹣h）2+0.4

∴m＝100[﹣（t﹣h）2+0.4]﹣20＝（t﹣29）2+20，

∴m＝

③当20≤t≤25时，增加的利润为：

600m+[100×30﹣200（30﹣m）]＝800m﹣3000＝1600t﹣35000，

当t＝25时，增加的利润的最大值为1600×25﹣35000＝5000元；

当25＜t≤37时，增加的利润为：

600m+[100×30﹣400（30﹣m）]＝1000m﹣9000＝﹣625（t﹣29）2+11000

∴当t＝29时，增加的利润的最大值为11000元．

综上，当t＝29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．