Question

3．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，求AC的长．

Answer 1

分析 先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠C=30°，再根据圆周角定理得到∠D=∠C=30°，∠BAD=90°，然后利用含30度的三角形三边的关系求解．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
而∠BAC=120°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴∠D=∠C=30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．