Question

14．如图，⊙O为△ABC的外接圆，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，DE⊥AC于E，AB=4，AC=6，求CE的长．

Answer 1

分析 作DF⊥AB于F，如图，根据圆周角定理由$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$得∠BAD=∠CADDB=DC，再根据角平分线的性质得DF=DE，接着利用“HL”证明Rt△DBF≌Rt△DCE得BF=CE，证明Rt△DAF≌Rt△DAE得AF=AE，则有AB+BF=AC-CE，然后计算CE的长．

解答 解：作DF⊥AB于F，如图，
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴DB=DC，∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DE，
在Rt△DBF和Rt△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBF≌Rt△DCE，
∴BF=CE，
在Rt△DAF和Rt△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAF≌Rt△DAE，
∴AF=AE，
即AB+BF=AC-CE，
∴4+CE=6-CE，
∴CE=1．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．本题的关键是作辅助线构建全等三角形．