Question

6．在平面直角坐标系内，A、B两点的坐标分别是A（4，0）、B（0，3）以线段AB为边作等腰直角三角形，求第三个顶点的坐标．（画出图象，不需要写计算过程）

Answer 1

分析 分两种情况：（1）如图1，点C在第一象限，（2）如图2，点C在第四象限．针对每一种情况，分别画出图形，再利用全等求出距离，从而得出C点坐标．

解答 解：分两种情况：
（1）如图1，过点C作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，CE=CD=OE，
∵AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
CE²+（CE-3）²=BC²=$\frac{25}{2}$，
解得CE=$\frac{7}{2}$或-$\frac{1}{2}$（不合题意舍去）．
则点C坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$）；

（2）如图2，过点C作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{AC=BC}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，CE=CD=OE，
∵AB=5，
∴BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
CE²+（CE+6）²=BC²=$\frac{25}{2}$，
解得CE=$\frac{1}{2}$或-$\frac{7}{2}$（不合题意舍去）．
则点C坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
综上可知点C坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）和（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查了坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键，并注意分类思想的运用．